Narodil se v roce 1936 v Pudlově a fotbal začal hrát v jedenácti letech za SK Přerov. Velký talent neušel proto pozornosti prvoligových funkcionářů. Vojnu si odsloužil v mužstvech Tankisty Praha a Dukly Pardubice a poté strávil své nejlepší roky v Baníku Ostrava. Od roku 1965 hrál za pražskou Spartu, vznikl pověstný útok Pospíchal - Mráz - Kvašňák - Mašek - Vrána, a s letenským týmem získal dva mistrovské tituly. V první lize odehrál celkem 239 zápasů a nastřílel 70 gólů. V roce 1968 odešel na závěr kariéry hrát do francouzského Ruenu.
Velice dobrou ligovou kariéru Tomáše Pospíchala ještě předčila kariéra reprezentační. Poprvé reprezentoval v roce 1956 na Strahově v přátelském bezbrankovém utkání s Brazílií. Zažil slavnou éru Československa na počátku šedesátých let. Dvěma góly se v květnu 1961 podílel na bratislavské demolici Skotska (4:0) v kvalifikaci na MS, a když koncem téhož roku hrálo Československo se stejným soupeřem v Bruselu třetí rozhodující duel o postup, za stavu 2:2 vstřelil v prodloužení třetí rozhodující gól a měl velkou zásluhu na výhře 4:2. Postoupili jsme do Chile!
Před samotným chilským šampionátem se doma i v zahraničí Československu příliš nevěřilo a celý svět byl jeho výkony podceňovaného týmu doslova šokován. V základní skupině Tomáš Pospíchal nehrál, trenér Rudolf Vytlačil ho postavil až ve čtvrtfinále s Maďarskem. Vznikl tak útok Pospíchal - Scherer - Kadraba - Kvašňák - Jelínek a byla to velice dobrá volba. Naši Maďary porazili 1:0, v semifinále přejeli Jugoslávii 3:1 a ve finále je čekala Brazílie, obhájce titulu.
Utkání o titul mistra světa, kdo by po něm nezatoužil. A Tomáš Pospíchal v něm podal možná svůj nejlepší reprezentační výkon. Ve 14. minutě si to s míčem namířil od postranní čáry do středu hřiště, pře velkým vápnem poslal klasickou českou uličku Josefu Masopustovi a Československo vedlo 1:0. Nakonec naši prohráli 1:3, ale za svůj výkon se rozhodně stydět nemuseli. Právě naopak.
A o výkonu našeho pravého křídla jedny anglické noviny napsaly: "Pospíchal dokázal, že je jedním z nejlepších křídelních útočníků poválečené doby. Bylo téměř otřesné vidět, jak slavný Nilton Santos prožívá před kličkujícím a pronikajícím československým hráčem nejhorší chvíle svého života." V reprezentaci skončil v roce 1965, celkem sehrál za A mužstvo 26 utkání a vstřelil 8 gólů.
S trénováním začal po návratu s Francie v roce 1971 v Břevnově, kde odhadl talent Jana Bergera, o rok později už vedl prvoligovou Ostravu, kterou zachránil v lize a v roce 1973 s ní zvítězil v Československém poháru, což znamenalo start v Evropě.
V létě roku 1975 přichází Tomáš Pospíchal do plzeňských Štruncových sadů, kde po Jiřím Rubášovi přebírá kádr, který není rozhodně tak silný, jako ten ostravský. První rok také končí Škoda na třinácté příčce, ale v létě přichází do Plzně nadějné posily: Jan Berger, Jiří Sloup, oba pozdější reprezentanti, dále Lubomír Rejda, Michal Jelínek, Pavel Karafiát a v zimě ještě Antonín Dvořák. Vzniká tak výborný útok Rejda - Jelínek - Dvořák.
V květnu 1977 střílí Stanislav Štrunc, kterému dává trenér poslední příležitost, konečně svůj stý ligový gól a vstupuje do Klubu ligových kanonýrů. A Škoda Plzeň se umisťuje v prvoligovém peletonu na konečné šesté příčce. Stane se však nečekaná věc. Tomáš Pospíchal podlehne vábení pražských Bohemians, plzeňské vedení netrvá na dodržení tříleté smlouvy a úspěšný kouč odchází k Botiči.
Od tohoto momentu se datuje pokles výkonnosti Škody Plzeň, vrcholící sestupem z ligy v roce 1980 a vzestup Bohemians, který naopak vrcholí v roce 1983 ziskem mistrovského titulu. Tomáše Pospíchala však začínaly stále více provázet problémy se srdcem, které vyvrcholily transplantací, a nakonec musel trénování zanechat.
Zemřel v roce 2003 ve věku 67 let. Je nesmazatelně zapsán v historii našeho fotbalu, jako nahrávač gólu vstřeleného ve finále mistrovství světa, ale významné místo má i v historické kronice plzeňské Viktorie ziskem nečekaného šestého místa v první lize.